Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4 - x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 2 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 2 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (- x)$

Etapa 2.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.3

Deixe $u_{1} = - 2 x$ . Depois, $d u_{1} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.3.1

Deixe $u_{1} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.3.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.3.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.4.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.8.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 6.8.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.8.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.9

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - \int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.11

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.12

Simplifique.

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Etapa 6.12.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.12.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.12.3

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.13

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.14

Simplifique.

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Etapa 6.14.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.14.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.15

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.16

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.16.1

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.16.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.16.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.16.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.16.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.16.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Etapa 6.17

Simplifique.

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Etapa 6.17.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Etapa 6.17.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 6.18

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}))$

Etapa 6.19

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

Etapa 6.20

Simplifique.

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Etapa 6.20.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 6.20.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 6.21

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 6.22

Simplifique.

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Etapa 6.22.1

Simplifique.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Etapa 6.22.2

Simplifique.

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Etapa 6.22.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Etapa 6.22.2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Etapa 6.22.2.3

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Etapa 6.23

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 6.23.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Etapa 6.23.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.24

Simplifique.

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Etapa 6.24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.24.2

Multiplique $- - \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ .

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Etapa 6.24.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + 1 \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.24.2.2

Multiplique $\frac{e^{- 2 x} x}{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.24.3

Multiplique $- - \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

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Etapa 6.24.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + 1 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.24.3.2

Multiplique $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.24.4

Reordene os fatores em $\frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.25

Reordene os termos.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 2 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.2.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.3

Para escrever $- 2 e^{- 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - 2 e^{- 2 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 7.3.4.1

Combine $- 2 e^{- 2 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.4.3.1.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}$ .

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Etapa 7.3.4.3.1.1.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3.1.1.2

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3.1.1.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 8 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3.1.3

Some $- 8$ e $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 7 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.5.1

Para escrever $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.5.2.1

Multiplique $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{- 2 x}) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.4.2

Fatore $e^{- 2 x}$ de $2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.4.2.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $2 x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.4.2.2

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 7 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.4.2.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.5

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.6

Combine $C$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.5.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.8.3

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.5.8.4

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.7

Multiplique $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 7.3.8

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$