Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2}) d y = x y d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $x y d x$ dos dois lados da equação.

$(x^{2} + y^{2}) d y - x y d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x y]$

Etapa 2.2

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Etapa 3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x = 2 x$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- x = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $- x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - - x}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- x y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $- x y$ por $M$ .

$\frac{2 x - - x}{- x y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x - - x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 - - x}{- x y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $x$ de $- - x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (- - 1)}{- x y}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (- - 1)$ .

$\frac{x (2 - - 1)}{- x y}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x (2 + 1)}{- x y}$

Etapa 5.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{- 1 y}$

Etapa 5.3.4

Substitua $- x y$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- x y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- x y \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y (- x) \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.4

Reescreva a expressão.

$- x \frac{1}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{y^{2}}$ e $x$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Etapa 9.2

Como $\frac{1}{y^{2}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{y^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{2}} \int x d x)$

Etapa 9.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Etapa 9.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 9.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.5.1

Reescreva $- \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.5.2

Simplifique.

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Etapa 9.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Etapa 9.5.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2 y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $- \frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ em relação a $y$ é $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.11

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.12

Combine $\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.13

Mova $y^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.3.14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Subtraia $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Subtraia $y^{2}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y^{3}$ .

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Etapa 13.1.1.6.1.1

Fatore $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1.1.6.1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

Etapa 13.1.1.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

Etapa 13.1.1.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Etapa 13.1.2

Some $\frac{1}{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 14.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \ln (| y |) + C$