Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.2.4.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $7$ e $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

Etapa 3.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ .

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{7}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

Etapa 3.2.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.3.1

Combine $K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.2.4

Mova $4$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

Etapa 3.2.5

Reescreva $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ .

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Etapa 3.2.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $7 x^{4} + 4 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

Etapa 3.2.5.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.2.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

Etapa 3.2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

Etapa 3.2.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Etapa 3.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Etapa 3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$