Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Etapa 1.2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 y$ e $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $9 y^{2} - 4$ por $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 1.2.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 y$ e $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $3 y + 2$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $3 y - 2$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Etapa 1.2.5.2

Divida $6 x^{2}$ por $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Como $9$ é constante com relação a $y$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $2$ por $x$ e $0$ por $y$ em $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ .

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Etapa 4.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Etapa 4.2.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Etapa 4.2.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Etapa 4.3

Simplifique $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $0$ e $0$ .

$16 + K = 0$

Etapa 4.4

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$K = - 16$

Etapa 5

Substitua $- 16$ por $K$ em $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 16$ por $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$