Cálculo Exemplos

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

Etapa 1.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 (x^{2} + y^{2})$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.4

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

Etapa 1.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Como $6 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

Etapa 2.9

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Etapa 2.9.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $3 (x^{2} + y^{2})$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $3 (x^{2} + y^{2})$ por $M$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ e $3$ .

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.2

Fatore $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $6 y$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.7

Reescreva $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ como $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.8

Fatore $3$ de $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.3.1

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Some $- x^{2} - y^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- x^{2} - y^{2}$ e $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (x^{2} + y^{2})$ como $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.4.6

Divida $- 1 \cdot (- 1)$ por $1$ .

$- 1 \cdot (- 1)$

Etapa 4.3.5

Reescreva $- 1 \cdot (- 1)$ como $- (- 1)$ .

$- (- 1)$

Etapa 4.3.6

Substitua $3 (x^{2} + y^{2})$ por $M$ .

$1$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int d y}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{y}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 (x^{2} + y^{2})$ por $e^{y}$ .

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ por $e^{y}$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.6

Simplifique.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.6.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.6.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.6.1.2

Some $1$ e $2$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Etapa 8.2

Como $3 e^{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $3 e^{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{y} x^{3}$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2} e^{y} x$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = e^{y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.4.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 11.6.4

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x^{3} e^{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $3 y^{2} x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

Etapa 12.1.3

Subtraia $6 x y e^{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ .

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Etapa 12.1.4.1

Subtraia $x^{3} e^{y}$ de $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Etapa 12.1.4.2

Some $3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Etapa 12.1.4.3

Reorganize os fatores nos termos $3 x y^{2} e^{y}$ e $- 3 y^{2} x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

Etapa 12.1.4.4

Subtraia $3 e^{y} y^{2} x$ de $3 e^{y} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

Etapa 12.1.4.5

Some $6 x y e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

Etapa 12.1.4.6

Subtraia $6 x y e^{y}$ de $6 x y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$