Cálculo Exemplos

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.3.2

Fatore $e^{2 x}$ de $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.4

Combine $\frac{4}{y}$ e $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $y e^{2 x}$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $y e^{2 x}$ de $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Como $4 t$ é constante com relação a $y$ , mova $4 t$ para fora da integral.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Etapa 3.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 3.3

Aplique a regra da constante.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $4 t \ln (| y |) = x + C$ por $4 t$ e simplifique.

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Etapa 4.1.1

Divida cada termo em $4 t \ln (| y |) = x + C$ por $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Etapa 4.1.2.2.2

Divida $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Etapa 4.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Etapa 4.3

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Etapa 4.4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Etapa 4.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$