Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ com relação a $x$ é $\arcsin (x)$

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.5.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} - (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$y + C_{1} = \arcsin (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - 2 x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - 2 x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + K$