Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 y = 0$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 y = 0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 9 e^{r x} = 0$

Etapa 2.4

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 9 e^{r x} = 0$

Etapa 2.4.2

Fatore $e^{r x}$ de $- 9 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 9 = 0$

Etapa 2.4.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 9$ .

$e^{r x} (r^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.5

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 9 = 0$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$r^{2} = 9$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{9}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = \pm 3$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = 3$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - 3$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = 3, - 3$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{3 x}$

$y_{2} = e^{- 3 x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 3 x}$