Cálculo Exemplos

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x - y + 6$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.4

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Etapa 2.6

Combine os termos.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Etapa 2.6.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $1$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $M$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

Etapa 4.3.2

Divida $1 + 0$ por $1$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.3

Substitua $1$ por $M$ .

$1$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int d y}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Etapa 6

Multiplique $1$ por $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = e^{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{y} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{y} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 11.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $x e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $- y e^{y} + 6 e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- y e^{y} + 6 e^{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Etapa 13.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Etapa 13.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

Etapa 13.6

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

Etapa 13.7

Como $6$ é constante com relação a $y$ , mova $6$ para fora da integral.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

Etapa 13.8

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

Etapa 13.9

Simplifique.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

Etapa 13.10

Some $e^{y}$ e $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$