Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 \sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $\frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 2.3.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.4.2.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{1}{6} \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{6} \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + K = 0$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $\frac{1}{6}$ dos dois lados da equação.

$K = - \frac{1}{6}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{1}{6}$ por $K$ em $y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{1}{6}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{6}$