Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{3 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x e^{3 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x e^{3 x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x e^{3 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$y + C_{1} = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y + C_{1} = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 2.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Etapa 2.3.4

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.4.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.9

Reescreva $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C_{2}$

Etapa 2.3.11

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} x - \frac{1}{9} e^{3 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} x - \frac{1}{9} e^{3 x} + K$