Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x}$ of $y = - 2 x + 5$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ por $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x + 5}{y}$

Etapa 2.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - 2 x + 5$

Etapa 2.5

Reescreva a equação.

$y d y = (- 2 x + 5) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - 2 x + 5 d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x + 5 d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Etapa 3.3.2

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x + \int 5 d x$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 5 d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Etapa 3.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + 5 x + K$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique $2 (- x^{2} + 5 x + K)$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 K$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 10 x + 2 K$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 10 x + 2 K}$

Etapa 4.4

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 10 x + 2 K$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 10 x + 2 K}$

Etapa 4.4.2

Fatore $2$ de $10 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Etapa 4.4.3

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Etapa 4.4.4

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K}$

Etapa 4.4.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$