Cálculo Exemplos

$(4 + 5 y) d x + (1 + 5 x) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(4 + 5 y) d x$ dos dois lados da equação.

$(1 + 5 x) d y = - (4 + 5 y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ .

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $4 + 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ para o numerador.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $4 + 5 y$ de $(1 + 5 x) (4 + 5 y)$ .

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{4 + 5 y} d y = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 4 + 5 y$ . Depois, $d u_{1} = 5 d y$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 4 + 5 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $4 + 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 + 5 y]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 5 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [5 y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Etapa 4.2.1.1.4

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 + 5 y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 1 + 5 x$ . Depois, $d u_{2} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 1 + 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Etapa 4.3.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Etapa 4.3.2.1.4

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 5} d u_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{5 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |)) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (| 4 + 5 y |)$ .

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\ln (| 1 + 5 x |)$ e $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + \frac{C \cdot 5}{5})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Etapa 5.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $5$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + 5 C$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 4 + 5 y |) + \ln (| 1 + 5 x |) = 5 C$

Etapa 5.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + 5 y | | 1 + 5 x |) = 5 C$

Etapa 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (4 + 5 y) (1 + 5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.6

Expanda $(4 + 5 y) (1 + 5 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 (1 + 5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.7.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Etapa 5.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 \cdot (5 y x) |) = 5 C$

Etapa 5.7.5

Multiplique $5$ por $5$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$

Etapa 5.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |)} = e^{5 C}$

Etapa 5.9

Reescreva $\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 C} = | 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |$

Etapa 5.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Reescreva a equação como $| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$ .

$| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$

Etapa 5.10.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$4 + 20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C}$

Etapa 5.10.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4$

Etapa 5.10.3.2

Subtraia $20 x$ dos dois lados da equação.

$5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Etapa 5.10.4

Fatore $5 y$ de $5 y + 25 y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.4.1

Fatore $5 y$ de $5 y$ .

$5 y (1) + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Etapa 5.10.4.2

Fatore $5 y$ de $25 y x$ .

$5 y (1) + 5 y (5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Etapa 5.10.4.3

Fatore $5 y$ de $5 y (1) + 5 y (5 x)$ .

$5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Etapa 5.10.5

Divida cada termo em $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ por $5 (1 + 5 x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.1

Divida cada termo em $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ por $5 (1 + 5 x)$ .

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.2.2

Cancele o fator comum de $1 + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 20$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.1.2.1

Fatore $5$ de $- 20 x$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4 x}{1 + 5 x}$

Etapa 5.10.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x}$

Etapa 5.10.5.3.2

Para escrever $- \frac{4 x}{1 + 5 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $5 (1 + 5 x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.5.3.3.1

Multiplique $\frac{4 x}{1 + 5 x}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{(1 + 5 x) \cdot 5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(1 + 5 x) \cdot 5$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5 - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 5.10.5.3.6

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$