Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x + 6}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x + 6}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{x + 6}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{x + 6}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x + 6}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x + 6} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x + 6} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x + 6} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x + 6} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x + 6$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x + 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x + 6 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 3 \ln (| x + 6 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 3 \ln (| x + 6 |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 3 \ln (| x + 6 |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 3 \ln (| x + 6 |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 6 |}^{3}) = C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por ${| x + 6 |}^{3}$ .

$\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}} {| x + 6 |}^{3} = e^{C} {| x + 6 |}^{3}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de ${| x + 6 |}^{3}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{{| x + 6 |}^{3}} {| x + 6 |}^{3} = e^{C} {| x + 6 |}^{3}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} {| x + 6 |}^{3}$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} {| x + 6 |}^{3}$ .

$| y | = {| x + 6 |}^{3} e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| x + 6 |}^{3} e^{C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm {| x + 6 |}^{3} C$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C {| x + 6 |}^{3}$