Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ , $y (2) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

Etapa 1.3.2.5

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 2 x^{3}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 2 x^{3}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 2 x^{3}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Etapa 3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x^{3}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 x$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 2 x$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{2} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{2} + C$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (x^{2} + C) x^{2}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(x^{2} + C) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x^{2} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.3.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.2.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{2 + 2} + C x^{2}$

Etapa 8.3.2.1.2.2

Some $2$ e $2$ .

$y = x^{4} + C x^{2}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $2$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = x^{4} + C x^{2}$ .

$8 = 2^{4} + C \cdot 2^{2}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$ .

$2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + C \cdot 2^{2} = 8$

Etapa 10.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 + C \cdot 4 = 8$

Etapa 10.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$16 + 4 C = 8$

Etapa 10.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$4 C = 8 - 16$

Etapa 10.3.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$4 C = - 8$

Etapa 10.4

Divida cada termo em $4 C = - 8$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 10.4.1

Divida cada termo em $4 C = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 10.4.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 8}{4}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.3.1

Divida $- 8$ por $4$ .

$C = - 2$

Etapa 11

Substitua $- 2$ por $C$ em $y = x^{4} + C x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $- 2$ por $C$ .

$y = x^{4} - 2 x^{2}$