Cálculo Exemplos

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $1 + x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $1 + x^{3}$ de $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.4

Combine $3$ e $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $y$ de $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Etapa 2.5.2

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Etapa 2.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Etapa 2.6

Combine $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Etapa 3.3.2

Deixe $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Deixe $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Diferencie $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Etapa 3.3.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 3.3.2.1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2.1.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2.1.3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Etapa 3.3.2.1.3.12

Multiplique $1 - x + x^{2}$ por $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.8

Some $1$ e $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.9

Some $- x$ e $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.10

Some $- 1$ e $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.11

Some $x + 2 x^{2}$ e $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.12

Subtraia $x$ de $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.13

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.4.14

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 3.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 3.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.5.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 3.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Etapa 4.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Etapa 4.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Etapa 4.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Etapa 4.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Etapa 4.5.2

Multiplique os dois lados por $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Etapa 4.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Etapa 4.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Etapa 4.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1

Simplifique $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.1

Expanda $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Mova $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.7

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Some $1$ e $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.2

Combine os termos opostos em $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1.2.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.2.2

Some $1 + x^{2}$ e $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.2.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Etapa 4.5.3.2.1.2.2.4

Some $1$ e $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Etapa 4.5.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Etapa 4.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Etapa 5.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | 1 + x^{3} |$