Cálculo Exemplos

$x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ ?

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - x}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $x y$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x y$ por $M$ .

$\frac{2 x - x}{x y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x}{x y}$

Etapa 4.3.3

Substitua $x y$ por $M$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $y$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x y$ por $y$ .

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $y$ .

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.5.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

Etapa 6.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

Etapa 6.5.2

Some $2$ e $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = x y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.3.3

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.5

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.6

Combine $\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.3.7.2

Divida $x^{2} y$ por $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $y^{3}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 15.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$