Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1.1

Simplifique $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1.1.1

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Etapa 2.1.1.1.1.2

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Etapa 2.1.1.1.1.3

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Etapa 2.1.1.1.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Etapa 2.1.1.1.2

Reordene os fatores em $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Etapa 2.1.2

Some $2 y \cot (x)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Etapa 2.2

Fatore $y$ de $y + 2 y \cot (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Etapa 2.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Etapa 2.2.3

Fatore $y$ de $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Etapa 2.2.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Etapa 2.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Etapa 2.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Etapa 3.3.2

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Etapa 3.3.4

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Etapa 4.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| \sin (x) |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Etapa 4.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique por $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Etapa 4.2.1.4

Separe as frações.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Etapa 4.2.1.5

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Etapa 4.2.1.6

Divida $| y |$ por $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Etapa 4.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Etapa 4.4

Reescreva $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Etapa 4.5

Resolva $y$ .

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Etapa 4.5.1

Reescreva a equação como $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Etapa 4.5.2

Divida cada termo em $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ por $\csc^{2} (x)$ e simplifique.

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Etapa 4.5.2.1

Divida cada termo em $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ por $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $\csc^{2} (x)$ .

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Etapa 4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Divida $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 4.5.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$