Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3 (- \frac{1}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $3$ de $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $3$ de $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Etapa 3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Etapa 3.4.4

Combine $3$ e $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.7.2

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.7.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 3.4.7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Etapa 3.4.7.5.5

Simplifique.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Etapa 3.4.8

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.10

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Etapa 5.2

Divida $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Etapa 5.3

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ como ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Simplifique ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 + K \cdot 1$ por $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.1.4

Multiplique $K$ por $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.3.2

Simplifique.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Etapa 5.3.3

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 K = 27 + 3$

Etapa 5.3.3.1.2

Some $27$ e $3$ .

$3 K = 30$

Etapa 5.3.3.2

Divida cada termo em $3 K = 30$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Divida cada termo em $3 K = 30$ por $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Etapa 5.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.3.1

Divida $30$ por $3$ .

$K = 10$

Etapa 6

Substitua $10$ por $K$ em $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $10$ por $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$