Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{3 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{2 x + 1}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 2 x d x + \int d x)$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 \int x d x + \int d x)$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int d x)$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine $2$ e $\frac{x}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} + 2 x}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2 x$ de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2 x$ de $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x (1)}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Para escrever $2 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.4.1

Combine $2 K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.5.1

Fatore $2$ de $2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3$ .

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Etapa 3.4.5.1.1

Fatore $2$ de $2 x (x + 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.5.1.2

Fatore $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)}{3}}$

Etapa 3.4.5.1.3

Fatore $2$ de $2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1) + K \cdot 3)}{3}}$

Etapa 3.4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Etapa 3.4.5.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + K \cdot 3)}{3}}$

Etapa 3.4.5.5

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.4.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.8.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.4.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.4.8.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Etapa 3.4.9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$