Cálculo Exemplos

$y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Multiplique $1 + x y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Etapa 1.4

Some $y x$ e $x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Etapa 1.4.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x y + 1 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y (1 + x y)$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y (1 + x y)$ por $M$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $- 1$ de $- 1 - (2 x y + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Reordene $- 1$ e $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2$ de $2 x y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.3.3

Fatore $2$ de $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x y + 1$ e $1 + x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Reordene os termos.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.4

Substitua $y (1 + x y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y (1 + x y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y - x) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $1 + x y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $2 y - x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $2 y - x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + \frac{2 y - x}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Etapa 8.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2.2

Some $- \frac{x}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{2 y - x}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y - x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y) - - x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y - - x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + 1 x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- x - 2 y + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y + 0}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- 2 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{2}{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{2}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 13.5

Simplifique.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 15.2

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Etapa 15.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln (y^{2}) + C$