Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 9) \frac{d y}{d x} = x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 9) \frac{d y}{d x} = x y$ por $x^{2} + 9$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 9) \frac{d y}{d x} = x y$ por $x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 9} = \frac{x y}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 9$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 9} = \frac{x y}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 9} y$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 9} y)$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $y$ de $\frac{x}{x^{2} + 9} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 9})$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 9})$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x^{2} + 9$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x^{2} + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 9$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 9 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 9 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x^{2} + 9 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 9 |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.3

Para escrever $\ln (| y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 9 |)}{2}$ .

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Etapa 3.6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |})}{2} = C$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |}) = C$

Etapa 3.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 9 |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.6.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2

Simplifique.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Etapa 3.8

Reescreva $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Etapa 3.9.2

Multiplique os dois lados por ${| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.3.1

Cancele o fator comum de ${| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{{| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = e^{C} {| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = C {| x^{2} + 9 |}^{\frac{1}{2}}$