Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 3$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 3$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C_{1}}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 \cdot e^{3 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 3 e^{3 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} v = \int 3 e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 x} v = 3 \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.2

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 7.3

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} v = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{3 x} v = 1 \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.5.3

Multiplique $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{3 x} v = \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.6

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} v = e^{u_{1}} + C_{2}$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$v = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 10

Reescreva a equação.

$d y = (1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}) d x$

Etapa 11

Integre os dois lados.

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Etapa 11.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.3

Integre o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{3} = \int d x + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.3.3

Como $C_{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.3.4.1

Negative o expoente de $e^{3 x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Etapa 11.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.3.4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Etapa 11.3.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Etapa 11.3.4.2.2

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Etapa 11.3.5

Deixe $u_{2} = - 3 x$ . Depois, $d u_{2} = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.3.5.1

Deixe $u_{2} = - 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.3.5.1.1

Diferencie $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 11.3.5.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 11.3.5.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 11.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Etapa 11.3.6

Simplifique.

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Etapa 11.3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Etapa 11.3.6.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 11.3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Etapa 11.3.8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 11.3.9

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{5}))$

Etapa 11.3.10

Simplifique.

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Etapa 11.3.10.1

Simplifique.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} C_{2} e^{u_{2}} + C_{6}$

Etapa 11.3.10.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{u_{2}}}{3} C_{2} + C_{6}$

Etapa 11.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 3 x$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{- 3 x}}{3} C_{2} + C_{6}$

Etapa 11.3.12

Reordene os termos.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{6}$

Etapa 11.3.13

Reordene os termos.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + x + C_{6}$

Etapa 11.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + x + D$