Cálculo Exemplos

$\frac{d f}{d t} = 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d f = (4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}}) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d f = \int 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$f + C_{1} = \int 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f + C_{1} = \int 4 t d t + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 4 \int t d t + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Etapa 2.3.4

Como $7$ é constante com relação a $t$ , mova $7$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = 25 - t^{2}$ . Depois, $d u = - 2 t d t$ , então, $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = 25 - t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

Etapa 2.3.5.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 2.3.5.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Etapa 2.3.5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.3.5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Etapa 2.3.5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 t$

Etapa 2.3.5.1.4

Subtraia $2 t$ de $0$ .

$- 2 t$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.3.6.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.6.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 7 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 2.3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.10.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 7$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 7}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.10.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.10.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.10.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.10.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.10.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.10.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.10.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.10.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

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Etapa 2.3.12.1

Simplifique.

$f + C_{1} = 2 t^{2} - \frac{7}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.12.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 2 (\frac{7}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{7}{2}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.3

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 14}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.4

Combine $\frac{- 14}{2}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 14 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.5

Fatore $2$ de $- 14 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.12.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 7 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.6.4

Divida $- 7 u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 7 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 7 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$f = 2 t^{2} - 7 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$