Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{3 x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

Etapa 1.2.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

Etapa 1.3

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.3.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine $3$ e $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.3

Combine $V$ e $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Fatore $V$ de $- V - V \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Fatore $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Fatore $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Fatore $V$ de $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1

Para escrever $\frac{3}{V}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.2

Para escrever $- \frac{3 V}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $V \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.3.1

Multiplique $\frac{3}{V}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3.2

Multiplique $\frac{3 V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3.3

Reordene os fatores de $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.1.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.1.2

Fatore $3$ de $- 3 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.2

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.2.1

Mova $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5.2.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Combine.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Etapa 6.1.1.3.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Combine.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Etapa 6.1.4.2

Combine.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Etapa 6.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

Etapa 6.1.4.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

Etapa 6.1.4.6

Cancele o fator comum de $2 - V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u = 2 - V^{2}$ . Depois, $d u = - 2 V d V$ , então, $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u = 2 - V^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - V^{2}$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $2$ em relação a $V$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- V^{2}$ em relação a $V$ é $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Etapa 6.2.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 V$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Subtraia $2 V$ de $0$ .

$- 2 V$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 2 - V^{2} |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ para o numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| 2 - V^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Etapa 6.3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Etapa 6.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Simplifique $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Etapa 6.3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Etapa 6.3.5

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Etapa 6.3.6

Reescreva $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

Etapa 6.3.7

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1

Reescreva a equação como $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Etapa 6.3.7.2

Divida cada termo em $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.2.1

Divida cada termo em $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 6.3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 6.3.7.2.2.1.2

Divida $| 2 - V^{2} |$ por $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 6.3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 6.3.7.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

Etapa 6.3.7.5

Divida cada termo em $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.7.5.1

Divida cada termo em $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.7.5.2.2

Divida $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.7.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.7.5.3.1.3

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

Etapa 6.3.7.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Etapa 6.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Simplifique $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Combine $C$ e $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

Etapa 8.2.2.1.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Etapa 8.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Etapa 8.2.2.1.4

Reescreva $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ como ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ .

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Etapa 8.2.2.1.4.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $- C + 2 {| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

Etapa 8.2.2.1.4.2

Fatore a potência perfeita ${| x |}^{2}$ de ${| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.4.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.6

Reescreva $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.7

Combine.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.8

Multiplique $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ por $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.9

Multiplique $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.2.1.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.2

Mova $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.3

Eleve $\sqrt{| x |}$ à potência de $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.4

Eleve $\sqrt{| x |}$ à potência de $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.6

Some $1$ e $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.7

Reescreva ${\sqrt{| x |}}^{2}$ como $| x |$ .

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Etapa 8.2.2.1.10.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.10.7.4.1

Cancele o fator comum.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.7.4.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

Etapa 8.2.2.1.10.7.5

Simplifique.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

Etapa 8.2.2.1.11

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

Etapa 8.2.2.1.12

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

Etapa 8.2.2.1.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.13.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

Etapa 8.2.2.1.13.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

Etapa 8.2.2.1.14

Reordene os fatores em $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$