Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{2 x}}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{2 x}}{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{e^{2 x}}{x}$

Etapa 3.4

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x e^{2 x}}{x}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x e^{2 x}}{x}$

Etapa 3.5.2

Divida $e^{2 x}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$x^{2} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 7.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Combine.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{2 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$