Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = 6 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (2 x^{3} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $4 x^{3} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Etapa 4

Como $y$ é negativo na condição inicial $(- 1, - 2)$ , considere apenas $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ para encontrar $K$ . Substitua $- 1$ por $x$ e $- 2$ por $y$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ .

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ como ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2.2

Aplique a regra do produto a $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2.4

Multiplique ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2.5

Multiplique os expoentes em ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

Etapa 5.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2 K = 4 + 4$

Etapa 5.4.1.2

Some $4$ e $4$ .

$2 K = 8$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $2 K = 8$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $2 K = 8$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Divida $8$ por $2$ .

$K = 4$

Etapa 6

Substitua $4$ por $K$ em $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $4$ por $K$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

Etapa 6.2

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

Etapa 6.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

Etapa 6.2.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

Etapa 6.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$