Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{2 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{x + y}{2 x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $\frac{y}{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- \frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{1}{2 x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{1}{2 x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{2 x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{y}{2 x}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.4.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.2.4.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Etapa 3.3

Combine.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.4.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.6

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.7.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.8

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 7.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 7.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 7.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.4.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.4.2

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.4.2.3

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.2.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.2.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.2.1.2.3

Some $1$ e $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.2.1.2.4

Divida $2$ por $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.2.1.3

Simplifique $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$