Cálculo Exemplos

$(x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + 3 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y = 2 x + 3 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x + 2 y = 2 x + 3 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x + 3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 3 y - (x + 2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $x y + y^{2}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x y + y^{2}$ por $M$ .

$\frac{2 x + 3 y - (x + 2 y)}{x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 3 y - x - (2 y)}{x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y - x - 2 y}{x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 3 y - 2 y}{x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $3 y$ .

$\frac{x + y}{x y + y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $x y + y^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{x + y}{y x + y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{x + y}{y x + y \cdot y}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot y$ .

$\frac{x + y}{y (x + y)}$

Etapa 4.3.4

Substitua $x y + y^{2}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + y}{y (x + y)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$ pelo fator de integração $y$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x y + y^{2}$ por $y$ .

$(x y + y^{2}) y d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x y \cdot y + y^{2} y) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $y$ .

$(x (y \cdot y) + y^{2} y) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(x y^{2} + y^{2} y) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.4.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(x y^{2} + y^{2} y^{1}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x y^{2} + y^{2 + 1}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Some $2$ e $1$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x^{2} + 3 x y$ por $y$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} + 3 x y) y d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Mova $y$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y)) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} + y^{3} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = x y^{2} + y^{3}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x + \int y^{3} d x$

Etapa 8.2

Como $y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + C$

Etapa 8.7

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.5

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.6

Combine $\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.3.7.2

Divida $x^{2} y$ por $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.4.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $3 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y - 3 y^{2} x$ .

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Etapa 12.1.3.1

Subtraia $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 0 - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.3.2

Some $3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $3 x y^{2}$ e $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.3.4

Subtraia $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + C$

Etapa 15.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + C$