Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} - x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} - x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + \int - x d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - \int x d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{x^{2}}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + K$