Cálculo Exemplos

$\frac{d A}{d t} + \frac{A}{100} = 6$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $\frac{A}{100}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d A}{d t} = 6 - \frac{A}{100}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{6 - \frac{A}{100}}$ .

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $6 - \frac{A}{100}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 6 - \frac{A}{100}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{100} d A$ , então, $- 100 d u = d A$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 6 - \frac{A}{100}$ . Encontre $\frac{d u}{d A}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $6 - \frac{A}{100}$ .

$\frac{d}{d A} [6 - \frac{A}{100}]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - \frac{A}{100}$ com relação a $A$ é $\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

$\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $6$ é constante em relação a $A$ , a derivada de $6$ em relação a $A$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- \frac{1}{100}$ é constante em relação a $A$ , a derivada de $- \frac{A}{100}$ em relação a $A$ é $- \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$ .

$0 - \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ é $n A^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{100} \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{100}$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $\frac{1}{100}$ de $0$ .

$- \frac{1}{100}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{100}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{100}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 100) d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $100$ por $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 100 d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $100$ por $- 1$ .

$\int - 100 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.6

Combine $- 100$ e $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 100}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{100}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{100}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4

Como $100$ é constante com relação a $u$ , mova $100$ para fora da integral.

$- (100 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.5

Multiplique $100$ por $- 1$ .

$- 100 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- 100 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$- 100 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 - \frac{A}{100}$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{A}{100} |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.9

Reordene os termos.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ por $- 100$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ por $- 100$ .

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)$ por $1$ .

$\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Etapa 3.1.2.2

Combine $A$ e $\frac{1}{100}$ .

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} + \frac{C}{- 100}$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$

Etapa 3.2

Para resolver $A$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 6 - \frac{A}{100} |)} = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} = | 6 - \frac{A}{100} |$

Etapa 3.4

Resolva $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$ .

$| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$6 - \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6$

Etapa 3.4.4

Multiplique os dois lados da equação por $- 100$ .

$- 100 (- \frac{A}{100}) = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1

Simplifique $- 100 (- \frac{A}{100})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1.1

Cancele o fator comum de $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{A}{100}$ para o numerador.

$- 100 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5.1.1.1.2

Fatore $100$ de $- 100$ .

$100 (- 1) \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$100 \cdot - 1 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5.1.1.2.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Etapa 3.4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.2.1

Simplifique $- 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) - 100 \cdot - 6$

Etapa 3.4.5.2.1.2

Multiplique $- 100$ por $- 6$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) + 600$

Etapa 3.4.6

Reordene $- \frac{t}{100}$ e $- \frac{C}{100}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{C}{100} - \frac{t}{100}}) + 600$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$A = - 100 (\pm e^{C - \frac{t}{100}}) + 600$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} + C}) + 600$

Etapa 4.3

Reescreva $e^{- \frac{t}{100} + C}$ como $e^{- \frac{t}{100}} e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100}} e^{C}) + 600$

Etapa 4.4

Reordene $e^{- \frac{t}{100}}$ e $e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{100}}) + 600$

Etapa 4.5

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$A = - 100 (C e^{- \frac{t}{100}}) + 600$