Cálculo Exemplos

$6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$ por $6$ .

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 (3)} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.12

Mova $v^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.14

Combine $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 5.16

Multiplique $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.17

Multiplique $v^{\frac{2}{3}}$ por $v^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.17.1

Mova $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 5.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 5.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 5.17.4

Some $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $3 v^{\frac{4}{3}}$ de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Simplifique $\frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Combine $v$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{v}{3}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8.2

Fatore $3$ de $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 1 = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10

Multiplique $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} + v = - 1 \cdot 3 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Fatore $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 (2)} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 \cdot 2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $v^{- \frac{4}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.5.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 7.1.1.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{0}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5.5

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{0}$

Etapa 7.1.1.3.6

Simplifique $- \frac{x}{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2}$

Etapa 7.1.2

Reescreva a equação com coeficientes isolados.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{1}{2} x$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- \frac{1}{2} x)$

Etapa 7.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{x} x$

Etapa 7.3.3

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{e^{x}}{2} x$

Etapa 7.3.4

Combine $x$ e $\frac{e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$

Etapa 7.3.5

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - \frac{x e^{x}}{2}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - \frac{x e^{x}}{2}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} v = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{x} v = - \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Etapa 7.7.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int x e^{x} d x)$

Etapa 7.7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 7.7.4

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Etapa 7.7.5

Simplifique.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 7.8

Divida cada termo em $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.8.1

Divida cada termo em $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.8.3.1

Combine em uma fração.

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Etapa 7.8.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.1.2

Reordene os fatores em $- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$v = \frac{- (x e^{x} - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{(- (x e^{x}) - - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.2

Multiplique $- - e^{x}$ .

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Etapa 7.8.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + 1 e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.2.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{- x e^{x} \frac{1}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.4

Multiplique $- x e^{x} \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.8.3.2.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$v = \frac{- \frac{x}{2} e^{x} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.4.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.5

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + \frac{e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.7

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Etapa 7.8.3.2.7.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.7.2

Multiplique por $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.7.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.8

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.9

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.8.3.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.11.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.2.11.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 7.8.3.4

Multiplique $\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}$ por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.5

Fatore $- 1$ de $- e^{x} x$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.6

Fatore $- 1$ de $e^{x}$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) - 1 (- e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.7

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x) - 1 (- e^{x})$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.8

Fatore $- 1$ de $2 C$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.9

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.8.3.10.1

Reescreva $- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ como $- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ .

$v = \frac{- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$v = - \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Etapa 7.8.3.10.3

Reordene os fatores em $- \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$ .

$v = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 3}$ por $v$ .

$y^{- 3} = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$