Cálculo Exemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida $x + 2$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Etapa 2.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 2.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 2.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Etapa 2.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.4

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.4.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.4.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{x + 2}{x + 1}$ e $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.2.2

Combine $e^{x + \ln (x + 1)}$ e $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.3

Para escrever $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Etapa 3.6

Multiplique $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

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Etapa 3.6.1

Combine $e^{x + \ln (x + 1)}$ e $\frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 e^{- x})}{x + 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $e^{x + \ln (x + 1)}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.2.1

Mova $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 3.6.2.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 3.6.2.4

Some $0$ e $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 3.7

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 3.8.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

Etapa 3.9

Reordene os fatores em $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ por $e^{x + \ln (x + 1)}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ por $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$