Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 1.2

Integre $2 x$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 6.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 6.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 6.1.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 6.1.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 6.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Etapa 9.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

Etapa 9.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

Etapa 10

Substitua $\frac{1}{2}$ por $C$ em $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Etapa 10.2.2

Combine.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$