Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x} y^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} ((x + 1) e^{- x} y^{2})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $y^{2}$ de $(x + 1) e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + 1 e^{- x}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + e^{- x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (x e^{- x} + e^{- x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u_{1} = - x$ . Depois, $d u_{1} = - d x$ , então, $- d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Deixe $u_{1} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.8

Deixe $u_{2} = - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Deixe $u_{2} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.10

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - (e^{u_{2}} + C_{3})$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.2

Subtraia $e^{u_{2}}$ de $- e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C_{4}$

Etapa 2.3.12

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C_{4}$

Etapa 2.3.13

Reordene os termos.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $- e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $- x y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $- 2 y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $K y$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.4

Fatore $y$ de $y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x})$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.5

Fatore $y$ de $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ por $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ por $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Etapa 3.3.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- x e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + K}$

Etapa 3.3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- 2 e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + K}$

Etapa 3.3.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) + K}$

Etapa 3.3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)}$

Etapa 3.3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.3.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.7.1

Reescreva $- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ como $- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.3.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Etapa 3.3.3.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Etapa 3.3.3.3.7.4

Multiplique $\frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} + K}$