Cálculo Exemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $(x + 1) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Etapa 1.6

Some $1$ e $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Etapa 1.7

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.8

Reordene $y$ e $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (| x |)$ e $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Etapa 5.4

Simplifique.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Etapa 7

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $10$ por $y$ em $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Etapa 8

Resolva $C$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados da equação por $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1.1.1.1

Multiplique $\ln (| 1 |)$ por $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Some $1$ e $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(1 + 1) \cdot 10$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Some $1$ e $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Etapa 8.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$- 1 + C = 20$

Etapa 8.4

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$C = 20 + 1$

Etapa 8.4.2

Some $20$ e $1$ .

$C = 21$

Etapa 9

Substitua $21$ por $C$ em $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Substitua $21$ por $C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$