Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.2

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

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Etapa 2.2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.8

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.8.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.2.8.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 2.2.8.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.2.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.8.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.9

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.11

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.12

Simplifique.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.2.13.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.13.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.13.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.14

Simplifique.

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Etapa 2.2.14.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.14.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Etapa 2.2.14.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.14.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.15

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$