Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.2.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2.5.2

Some $8$ e $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{11}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Etapa 4.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $\frac{2}{13}$ por $0$ .

$0 + K = 0$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 0$

Etapa 5

Substitua $0$ por $K$ em $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $0$ por $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Etapa 5.2

Some $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ e $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{2}{13}$ e $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$