Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{y}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Etapa 1.2.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 1.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Fatore $y$ de $y + y x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4.5

Multiplique $y$ por $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

Multiplique $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Etapa 2.3.3.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{1}{x} + C}$ como $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$