Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} - {(x y)}^{2}$ , $y (3) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + x y) (y - (x y))$

Etapa 1.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore $y$ de $y + x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y^{1} + x y) (y - (x y))$

Etapa 1.1.2.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + x y) (y - (x y))$

Etapa 1.1.2.1.3

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y x) (y - (x y))$

Etapa 1.1.2.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - (x y))$

Etapa 1.1.2.2

Remova os parênteses.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - x y)$

Etapa 1.1.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Fatore $y$ de $y - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y^{1} - x y)$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 - x y)$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Fatore $y$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 + y (- x))$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y (1 - x))$

Etapa 1.1.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) y (1 - x)$

Etapa 1.1.2.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y (1 + x) (1 - x)$

Etapa 1.1.2.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y^{1} (1 + x) (1 - x)$

Etapa 1.1.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = y^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)$

Etapa 1.1.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + x) (1 - x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + x) (1 - x))$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 - x)$

Etapa 1.3.2

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Etapa 1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Etapa 1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x + x (- x)$

Etapa 1.3.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x \cdot x$

Etapa 1.3.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Etapa 1.3.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x^{2}$

Etapa 1.3.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{2}$

Etapa 1.3.3.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 - x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 3, 1, 1$

Etapa 3.2.2

Como $y, 3, 1, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y, 3, 1, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $y, 3, 1, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 3.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.7

O MMC de $1, 3, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 3.2.8

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.9

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 3.2.10

O MMC de $y, 3, 1, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ por $3 y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ por $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{3}}{3}$ para o numerador.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Fatore $3$ de $3 y$ .

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 (y)) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 3 = - x^{3} y + x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + 3 K y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$ .

$- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $- x^{3} y$ .

$y (- x^{3}) + 3 x y + 3 K y = - 3$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $3 x y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + 3 K y = - 3$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $3 K y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + y (3 K) = - 3$

Etapa 3.4.2.4

Fatore $y$ de $y (- x^{3}) + y (3 x)$ .

$y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K) = - 3$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $y$ de $y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K)$ .

$y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ por $- x^{3} + 3 x + 3 K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ por $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) + 3 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $3 x$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) - (- 3 x) + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3.5

Fatore $- 1$ de $3 K$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)}$

Etapa 3.4.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Etapa 3.4.3.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.7.1

Reescreva $- (x^{3} - 3 x - 3 K)$ como $- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Etapa 3.4.3.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Etapa 3.4.3.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Etapa 3.4.3.3.7.4

Multiplique $\frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ .

$1 = \frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$ .

$\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{3}{27 - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{3}{27 - 9 + K} = 1$

Etapa 6.2.3

Subtraia $9$ de $27$ .

$\frac{3}{18 + K} = 1$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$18 + K, 1$

Etapa 6.3.2

Remova os parênteses.

$18 + K, 1$

Etapa 6.3.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$18 + K$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $\frac{3}{18 + K} = 1$ por $18 + K$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{3}{18 + K} = 1$ por $18 + K$ .

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $18 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Etapa 6.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 = 1 (18 + K)$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Multiplique $18 + K$ por $1$ .

$3 = 18 + K$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $18 + K = 3$ .

$18 + K = 3$

Etapa 6.5.2

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$K = 3 - 18$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia $18$ de $3$ .

$K = - 15$

Etapa 7

Substitua $- 15$ por $K$ em $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $- 15$ por $K$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 15}$