Cálculo Exemplos

$2 x d y = (x + y) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $(x + y) d x$ dos dois lados da equação.

$2 x d y - (x + y) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- (x + y) d x + 2 x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x + y)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x + y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = 2$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 1 = 2$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - 2}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $2 x$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $2 x$ por $N$ .

$\frac{- 1 - 2}{2 x}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 x}$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2 x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

Etapa 6.2

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- \frac{3}{2} \ln (| x |)$ .

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Etapa 6.5.1.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| x |))} + C$

Etapa 6.5.1.2

Simplifique $\frac{3}{2} \ln (| x |)$ movendo $\frac{3}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Etapa 6.5.2

Simplifique $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 6.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 6.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 6.5.4.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.5.4.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Etapa 6.5.4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Etapa 6.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (x + y) d x + 2 x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- (x + y)$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- (x + y) \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x - y) \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- x - y$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- x - y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- (x) - (y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.7

Reescreva $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $2 x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.10

Multiplique $2 x \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 7.10.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + x \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.10.2

Combine $x$ e $\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{x \cdot 2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.11

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d y = 0$

Etapa 7.12

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.12.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d y = 0$

Etapa 7.12.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.12.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.12.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.12.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} y + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 y (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 y (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 y \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.16

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.17

Combine $y$ e $\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.18

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.19

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.20.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- y)}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 13.1.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + x + y}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $- y + x + y$ .

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Etapa 13.1.1.1.2.1

Some $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x + 0}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.2.1

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} - 1}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1.2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 14.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 14.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 14.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 14.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$g (x) = - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 14.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (x) = - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 14.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$g (x) = - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 14.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.7.1

Reescreva $- (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$g (x) = - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 14.7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$g (x) = - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$