Cálculo Exemplos

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(v^{3} - 3 v) d x$ dos dois lados da equação.

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ .

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.2

Fatore $v$ de $v^{3} - 3 v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $v$ de $v^{3}$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $v$ de $- 3 v$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.2.3

Fatore $v$ de $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ .

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ por $v^{2} - 1$ .

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = v$ e $b = 1$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Etapa 3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $v^{3} - 3 v$ .

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Etapa 3.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ para o numerador.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Etapa 3.6.2

Fatore $v^{3} - 3 v$ de $x (v^{3} - 3 v)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Etapa 3.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Etapa 3.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (v^{2} - 3)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $v^{2} - 3$ .

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Etapa 4.2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.3.2.2

Divida $(v + 1) (v - 1)$ por $1$ .

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.4

Expanda $(v + 1) (v - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.5.1.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $v$ .

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5.1.3

Reescreva $- 1 v$ como $- v$ .

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5.1.4

Multiplique $v$ por $1$ .

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5.2

Some $- v$ e $v$ .

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.5.3

Some $v^{2}$ e $0$ .

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.6.1.2

Divida $A (v^{2} - 3)$ por $1$ .

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.6.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $v^{2} - 3$ .

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Etapa 4.2.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.1.6.4.2

Divida $(B v + C) (v)$ por $1$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

Etapa 4.2.1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

Etapa 4.2.1.1.6.6

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.1.6.6.1

Mova $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

Etapa 4.2.1.1.6.6.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

Etapa 4.2.1.1.7

Mova $- 3 A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

Etapa 4.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 4.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 4.2.1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = - 3 A$

Etapa 4.2.1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

Etapa 4.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.2.1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

Etapa 4.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 4.2.1.3.2.1

Reescreva a equação como $- 3 A = - 1$ .

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.2.1.3.2.2

Divida cada termo em $- 3 A = - 1$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.2.1.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.2.1.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.2.1.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1.3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.4

Resolva $B$ em $1 = \frac{1}{3} + B$ .

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Etapa 4.2.1.3.4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1.3.4.2.1

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.4.2.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.2.1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

Etapa 4.2.1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

Etapa 4.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.2.1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $v$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.5.2.2

Some $\frac{2 v}{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

Etapa 4.2.1.5.4

Multiplique $\frac{2 v}{3}$ por $\frac{1}{v^{2} - 3}$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Etapa 4.2.1.5.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Etapa 4.2.1.5.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Deixe $u = v^{2} - 3$ . Depois, $d u = 2 v d v$ , então, $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.6.1

Deixe $u = v^{2} - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d v}$ .

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Etapa 4.2.6.1.1

Diferencie $v^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

Etapa 4.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v^{2} - 3$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

Etapa 4.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

Etapa 4.2.6.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 3$ em relação a $v$ é $0$ .

$2 v + 0$

Etapa 4.2.6.1.5

Some $2 v$ e $0$ .

$2 v$

Etapa 4.2.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.9

Simplifique.

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Etapa 4.2.9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.9.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.9.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 4.2.9.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.9.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.9.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.11

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$