Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $3 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $3 - y$ de $4 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 3 - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 3 - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $- 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $- 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{1 - x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| 3 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + \frac{C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C \cdot 1 + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.4.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.3.5.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Etapa 3.1.3.5.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ como $- \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} = | 3 - y |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$ .

$| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Etapa 3.4.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} - 3$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Divida a fração $\frac{4 + C - C x}{1 - x}$ em duas frações.

$- y = \pm e^{- (\frac{4 + C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Etapa 3.4.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.2.1

Divida a fração $\frac{4 + C}{1 - x}$ em duas frações.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Etapa 3.4.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} - \frac{C x}{1 - x})} - 3$

Etapa 3.4.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} - - \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Etapa 3.4.3.2.4

Multiplique $- - \frac{C x}{1 - x}$ .

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Etapa 3.4.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + 1 \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Etapa 3.4.3.2.4.2

Multiplique $\frac{C x}{1 - x}$ por $1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Para escrever $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.2

Para escrever $\frac{- 3}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.3.1

Multiplique $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.3

Multiplique $\frac{- 3}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{- - 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.4

Reescreva $- 1 (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ como $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3}{1}$

Etapa 3.4.4.3.6

Divida $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{\frac{C + C x}{1 - x}}) + 3$