Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $y$ é $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ por $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Use o teorema binomial.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.3.1

Fatore $3$ de $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.6

Combine $\frac{x^{2}}{9}$ e $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.7.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.7.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.10

Combine $x$ e $\frac{K^{2}}{9}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.11

Aplique a regra do produto a $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Etapa 3.3.2.1.2.12

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4

Simplifique $\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ .

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Etapa 3.4.1

Reordene $x^{2}$ e $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4.2

Reordene $x$ e $K^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4.3

Mova $\frac{x^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

Etapa 3.4.4

Mova $\frac{K x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Etapa 3.4.5

Reordene $\frac{K^{2} x}{9}$ e $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$