Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (2 x + 2)}{x^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (\frac{2 x + 2}{x^{2}}))$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

Multiplique $(x + 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.4.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Etapa 2.3.6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} + \int x^{- 2} d x)$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} - x^{- 1} + C_{3})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Fatore cada termo.

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Etapa 3.1.1

Para escrever $\ln (| x |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\frac{\ln (| x |) x}{x} - \frac{1}{x}) + C$

Etapa 3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{y} = 2 \frac{\ln (| x |) x - 1}{x} + C$

Etapa 3.1.3

Combine $2$ e $\frac{\ln (| x |) x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, x, 1$

Etapa 3.2.2

Como $y, x, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y, x, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $y, x, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 3.2.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.8

O MMC de $y^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y x$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ por $y x$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ por $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.3.1.1.1

Fatore $x$ de $y x$ .

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- x = 2 (\ln (| x |) x - 1) y + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x = (2 (\ln (| x |) x) + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $2 (\ln (| x |) x)$ .

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $2$ .

$- x = (2 \cdot \ln (| x |) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Simplifique $2 \cdot \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- x = (\ln (x^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Etapa 3.3.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- x = \ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$

Etapa 3.3.3.2

Reordene os fatores em $\ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$ .

$- x = x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$ .

$x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $x y \ln (x^{2})$ .

$y (x \ln (x^{2})) - 2 y + C y x = - x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + C y x = - x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $C y x$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + y (C x) = - x$

Etapa 3.4.2.4

Fatore $y$ de $y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x) = - x$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $y$ de $y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x)$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ por $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ por $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$