Cálculo Exemplos

$(1 + y^{2}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + y^{2}) d x$ dos dois lados da equação.

$- (1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ para o numerador.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2

Divida $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.1.3.1.2

Divida $\arctan (x)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - 1 \cdot K$

Etapa 5.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Etapa 5.2

Reescreva a equação como $\arctan (x) - K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) - K = \arctan (y)$

Etapa 5.3

Some $K$ aos dois lados da equação.

$\arctan (x) = \arctan (y) + K$

Etapa 5.4

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$x = \tan (\arctan (y) + K)$

Etapa 5.5

Reescreva a equação como $\tan (\arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Etapa 5.6

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (y)$ de dentro da tangente.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Etapa 5.7

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Etapa 5.8

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Etapa 5.9

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Etapa 5.10

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (y)$ de dentro da tangente.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Etapa 5.11

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Etapa 5.12

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$