Cálculo Exemplos

$\frac{d P}{d t} = - 5 t e^{- 0.2 t}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d P = - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d P = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$P + C_{1} = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 5$ é constante com relação a $t$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$P + C_{1} = - 5 \int t e^{- 0.2 t} d t$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- 0.2 t}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \int - 5 e^{- 0.2 t} d t)$

Etapa 2.3.3

Como $- 5$ é constante com relação a $t$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - (- 5 \int e^{- 0.2 t} d t))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{- 0.2 t} d t)$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = - 0.2 t$ . Depois, $d u = - 0.2 d t$ , então, $\frac{1}{- 0.2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = - 0.2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $- 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$

Etapa 2.3.5.1.2

Como $- 0.2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.2 t$ em relação a $t$ é $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.2 \cdot 1$

Etapa 2.3.5.1.4

Multiplique $- 0.2$ por $1$ .

$- 0.2$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} \frac{1}{- 0.2} d u)$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} (- \frac{1}{0.2}) d u)$

Etapa 2.3.6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int - \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Etapa 2.3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 (- \int \frac{e^{u}}{0.2} d u))$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 \int \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Etapa 2.3.9

Como $\frac{1}{0.2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.2}$ para fora da integral.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 (\frac{1}{0.2} \int e^{u} d u))$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1

Combine $\frac{1}{0.2}$ e $- 5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + \frac{- 5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$

Etapa 2.3.12

Reescreva $- 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$ como $- 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$

Etapa 2.3.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 0.2 t$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$P = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + K$