Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $9$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Etapa 4.2

Simplifique $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Etapa 4.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Etapa 4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Etapa 4.2.1.5

Avalie o expoente.

$27 + 3 + K = 1$

Etapa 4.2.2

Some $27$ e $3$ .

$30 + K = 1$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $30$ dos dois lados da equação.

$K = 1 - 30$

Etapa 4.3.2

Subtraia $30$ de $1$ .

$K = - 29$

Etapa 5

Substitua $- 29$ por $K$ em $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 29$ por $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$