Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}})$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}})$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = \sec (\frac{1}{x})$ . Depois, $d u_{2} = - \frac{\tan (\frac{1}{x}) \sec (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$ , então, $- d u_{2} = \frac{\tan (\frac{1}{x}) \sec (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = \sec (\frac{1}{x})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\sec (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{1}{x})]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Etapa 2.3.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.1.1.4.2.1

Combine $\sec (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{x}) (- \frac{\sec (\frac{1}{x})}{x^{2}})$

Etapa 2.3.1.1.4.2.2

Combine $\tan (\frac{1}{x})$ e $\frac{\sec (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{x}) \sec (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - u_{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Reescreva $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{x}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{x}) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} + K$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 2, 1$

Etapa 3.2.2

Como $y, 2, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y, 2, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $y, 2, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.7

O MMC de $1, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 3.2.8

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.9

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 3.2.10

O MMC de $y, 2, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} + K$ por $2 y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} + K$ por $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = - \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{2}$ para o numerador.

$- 2 = \frac{- \sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$- 2 = \frac{- \sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- 2 = \frac{- \sec^{2} (\frac{1}{x})}{2} (2 y) + K (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 2 = - \sec^{2} (\frac{1}{x}) y + K (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = - \sec^{2} (\frac{1}{x}) y + 2 K y$

Etapa 3.3.3.2

Reordene os fatores em $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) y + 2 K y$ .

$- 2 = - y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $- y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y = - 2$ .

$- y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y = - 2$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $- y \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $- y \sec^{2} (\frac{1}{x})$ .

$y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})) + 2 K y = - 2$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $2 K y$ .

$y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})) + y (2 K) = - 2$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})) + y (2 K)$ .

$y (- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$

Etapa 3.4.3

Reescreva $- 1 \sec^{2} (\frac{1}{x})$ como $- \sec^{2} (\frac{1}{x})$ .

$y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$ por $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K) = - 2$ por $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K$ .

$\frac{y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K)}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K$ .

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Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K)}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{- \sec^{2} (\frac{1}{x}) + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (\frac{1}{x})$ .

$y = - \frac{2}{- (\sec^{2} (\frac{1}{x})) + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.3

Fatore $- 1$ de $2 K$ .

$y = - \frac{2}{- (\sec^{2} (\frac{1}{x})) - (- 2 K)}$

Etapa 3.4.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (\sec^{2} (\frac{1}{x})) - (- 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)}$

Etapa 3.4.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.4.3.5.1

Reescreva $- (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)$ como $- 1 (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K)}$

Etapa 3.4.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.5.4

Multiplique $\frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$ por $1$ .

$y = \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) - 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{2}{\sec^{2} (\frac{1}{x}) + K}$