Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Etapa 6.1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = V$ e $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Some $0$ e $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Expanda $(V + 1) (V - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Etapa 6.2.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Etapa 6.2.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.1

Multiplique $V$ por $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.3

Reescreva $- 1 V$ como $- V$ .

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.4

Multiplique $V$ por $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Some $- V$ e $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Etapa 6.2.2.1.1.2.3

Some $V^{2}$ e $0$ .

$V^{2} - 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Etapa 6.2.2.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.2.2.1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 6.2.2.1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{1}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$d = 0$

Etapa 6.2.2.1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 6.2.2.1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Etapa 6.2.2.1.5.2.1.3

Divida $0$ por $4$ .

$e = - 1 - 0$

Etapa 6.2.2.1.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = - 1 + 0$

Etapa 6.2.2.1.5.2.2

Some $- 1$ e $0$ .

$e = - 1$

Etapa 6.2.2.1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(V + 0)}^{2} - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u = V + 0$ . Depois, $d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u = V + 0$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V + 0$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Como $0$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $0$ em relação a $V$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Deixe $u = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.2.2.4.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Etapa 6.2.2.4.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.2

Cancele o fator comum de $\tan (t)$ .

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Etapa 6.2.2.4.2.1

Fatore $\tan (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 6.2.2.6.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.7.1

Some $V$ e $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7.2

Some $V$ e $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 6.3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Etapa 6.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.3.1

As funções secante e arco secante são inversos.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Etapa 6.3.3.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (V)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (V))$ é $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Etapa 6.3.3.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Etapa 6.3.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = V$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Etapa 6.3.4

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Etapa 6.3.5

Reescreva $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Etapa 6.3.6

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Etapa 6.3.6.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 6.3.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 6.3.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Etapa 6.3.6.4

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x |$ .

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Etapa 6.3.6.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Etapa 6.3.6.4.3

Resolva $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.3.1

Reordene os fatores em $\pm | x | e^{C}$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Etapa 6.3.6.4.3.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Etapa 6.3.6.4.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ como ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1

Simplifique ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.2

Expanda $(V + 1) (V - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Multiplique $V$ por $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Reescreva $- 1 V$ como $- V$ .

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Multiplique $V$ por $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Some $- V$ e $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Some $V^{2}$ e $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.2.1.4

Simplifique.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1

Simplifique ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.1

Reescreva ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ como $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ .

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.2

Expanda $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Multiplique $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Eleve $\pm e^{C} | x |$ à potência de $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Eleve $\pm e^{C} | x |$ à potência de $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Aplique a regra do produto a $e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Multiplique os expoentes em ${(e^{C})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Mova $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Multiplique $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Subtraia $V (\pm e^{C} | x |)$ de $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Mova $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Subtraia $V (\pm e^{C} | x |)$ de $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Etapa 6.3.6.4.5.3.1.4

Reordene os fatores em $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ .

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Etapa 6.3.6.4.6

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.1

Como $V$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Etapa 6.3.6.4.6.2

Mova todos os termos que contêm $V$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.2.1

Subtraia $V^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Etapa 6.3.6.4.6.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.2.2.1

Subtraia $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Etapa 6.3.6.4.6.2.2.2

Some $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ e $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Etapa 6.3.6.4.6.3

Subtraia $x^{2} e^{2 C}$ dos dois lados da equação.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Etapa 6.3.6.4.6.4

Divida cada termo em $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.4.1

Divida cada termo em $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.3.6.4.6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.3.6.4.6.4.2.2

Cancele o fator comum de $\pm e^{C} | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.3.6.4.6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.6.4.6.4.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.3.6.4.6.4.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Etapa 6.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Etapa 6.4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Simplifique $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Etapa 8.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Etapa 8.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Etapa 8.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{2 C | x |}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Etapa 8.2.2.1.4

Multiplique $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.4.1

Combine $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Etapa 8.2.2.1.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.4.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Etapa 8.2.2.1.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Etapa 8.2.2.1.4.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$